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    小学数学中最易混淆的15条基础概念

    2016-12-21 09:57

    来源:来自互联网

    编辑:新东方小编

      小学数学是很重要的打基础阶段,这就要求孩子们一定要掌握正确的学习方法,基础概念在数学的学习中尤为重要。下面是新东方小编为大?#26131;?#22791;的小学数学中比较易混淆的基础概念,希望对大家有所帮助。

          1、最小的一位数是0还是1?

      这个问题在很长一段时间存在争论。先来看?#30784;?#20061;年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书?#36820;?8页“关于几位数”的叙述:“通常在自然数里,含有几个数位的数,叫做几位数。例如“2”是含有一个数位的数,叫做一位数;“30”是含有两个数位的数,叫做两位数;“405”是含有三个数位的数,叫做三位数……但是要注意:一般不说0是几位数。

      再来听听专家的说明:在自然数的理论中,对“几位数”是这样定义的,“只用一个有效数字表示的数,叫做一位数;只用两个数字(其中左边第一个数字为有效数字)表示的数,叫做两位数……所以,在一个数中,数字的个数是几(其中最左边第一个数字为有效数字),这个数就?#23633;?#20301;数。

      于此,所谓最大的几位数,最小的几位数,通常是在非零自然数的?#27573;?#30740;究。所以一位数共有九个,即:1、2、3、?#30784;ⅲ怠ⅲ丁ⅲ貳ⅲ浮ⅲ埂?

      0不是最小的一位数。

      2、为什么0也是自然数?

      课标教材对“0也是自然数”的规定,颠覆了人们对自然数的传统认识。

      于此,中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说:国际上对自然数的定义一直都有不同的说法,以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始,我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法,认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时,已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。

      从教学?#23548;?#23618;面来说,将“0”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。

      2.1  “0”作为自然数的“好处”

      众所周知,数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集?#24076;?#20687;某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集?#24076;?#22914;分数的集合。因为自然数具?#23567;?#22522;数”的性质,因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。

      但在有限集合中,有一个最主要也是最基本的集?#24076;?#21483;空集{},元素个数为0。如果?#35805;?作为自然数,那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果?#36873;?”作为一个自然数,那么自然数就可以完成刻画“有限集?#26174;?#32032;个数”的任务了。于此,从“自然数的基数性”这个角度,我们看到了?#36873;?”作为自然数的好处。

      2.2  ?#36873;?”作为自然数,不会影响自然数的 “运算功能”

      “0”?#23588;?#20256;统的自然数集?#24076;?#25152;有的“运算规则”依旧保持,如新自然数集合{0,1,2,…,n,…}中的任何两个自然数都可以进行加法?#32479;?#27861;运算,而运算结果仍然是自然数。同时,加法、乘法运算的结?#19979;?#21644;交换律,以及乘法的分配律也不会受?#25509;?#21709;。

      所以,“0”加?#35828;阶?#28982;数集合实属理所?#27604;唬?#32780;不仅仅是人为的“规定”。它让我们更好地理解自然数?#36864;?#30340;功能,同时也让我们意识到教学时不仅要知道?#22270;?#20303;数学的“定义”和“规定?#20445;?#36824;应该思考“规定”背后的数学涵义。

      3、什么是有效数字一无效数字?

      有效数字是对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时,保留的有效数字多,就比保留的有效数字少更精确。

      一般说,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。这时,从左边第一个非零的数?#21046;穡?#21040;那一位上的所有数字都叫做这个数的有效数字。

      如近似数0.00?#24120;埃?#26377;三个有效数字:3、0、9;0.520也有三个有效字:5、2、0。

      而0.00?#24120;埃?#20013;左边的三个零,0.520中左边的一个零,都叫做无效数字。

      4、加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算?

      “加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”这似乎成了许多老师的口头禅,这其实是一种误解。例如:

      加法“2+?#24120;劍怠保?#20854;逆算为“5-2=3?#20445;埃擔常劍病薄?

      故此,加法的逆运算只有减法;

      减法“5-2=3?#20445;?#20854;逆算有 “5-?#24120;劍病保?“2+?#24120;劍怠薄?

      故此,减法的逆运算有减法?#22270;?#27861;两种运算。

      综上可知,只能说减法是加法的逆运算,而不能说加法与减法互为逆运算。

      同理,也只能说除法是乘法的逆运算,而不能说乘法与除法互为逆运算。

      5、为什么不?#30784;?#20493;?#20445;?/strong>

      在学习“求一个数是另一个数的几倍”应用题时,很多小朋友会自然提出这样的疑问,如:?#20843;?#20859;小组养了12只小鸡,3只小鸭,小鸡的只数是小鸭的几倍?”为什?#30784;?2÷3=4”的后面不?#30784;?#20493;”呢?

      我们首先应该肯定学生的质疑(学生有较强的解题规范意识)。但同时又该对学生说明:在解答应用题时,得数后面一般要写上的是数的单位名称

      如:12只的“只?#20445;?克的“克”。一个数只有带上单位名称,才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等?#21462;?#20294;是,“倍”不是单位名称,它表示两个数量之间的一种关系。例如,上面的计算结果“4?#20445;?#34920;示12里面有4个3,就是12只小鸡是3只小鸭的4倍。

      所以,在算式里不?#30784;?#20493;?#20445;?#20197;免“倍”与单位名称发生混淆。

      6、“倍”和“倍数”的区别

      在第一学段我们学习了“倍的初步认识?#20445;?#35748;识了概念“倍?#20445;?#32780;在第二学段,我们又学习到“倍数”这个概念。那么,“倍”和“倍数”这两个词到底是不是一回事呢?这两个?#25163;?#38388;有什么区别呢?

      “倍”指的是数量关系,它建立在乘除法概念的基础上。例如:男生有10人,女生有30人,因为“10×3=30”或者“30÷10=3?#20445;?#25105;们就说,女生人数(30)是男生人数(10)的3倍,?#37096;?#20197;说,男生人数(10)的3倍等于女生人数(30)。勿宁说,“倍”其实表示的是两个数的商(这个商可以是整数、小数、分数等各种表?#20013;?#24335;)。

      “倍数”指的是数与数之间的联系,它建立在整除概念的基础上。例如,30能被6整除,30就是6的倍数。可见,“倍数”是不能独立存在的(具有特定的指向性),而且对数的形式有特别的要求(必须为整数)。

      同时我们又看到,30也是6的5倍,因为6×5=30,“6×5”表示6的5倍。所?#28304;?#36825;个角度来说,“倍”的涵义应宽泛于“倍数?#20445;?#21518;者可以视为前者在特定情形下的一种表现。

      7、“时”和“小时”有什么不同?怎样使用“时”和“小时?#20445;?/strong>

      首先应该明确的是,〔小〕时并非国际时间单位。在1984年国务院发布的《关于我国统一法定计量单位的命令》中,把秒作为时间的基本单位,把非国际单位制的时间单位天(日)、〔小〕时、分作为辅助单位。

      (注:〔〕里的字,在不致混淆的情况下,可以省略)。

      这样,在我国?#27573;?#20869;使用的法定时间单位就有:天(日)、〔小〕时、分、秒。

      由此,“时”既可以表示时间,又可以表示时刻。由于“时间”和“时刻”这两个不同的概念容易产生混淆,在?#23548;?#24212;用时间单位“时”时,

      ?#20013;?#25945;材作了如下处理:

      7.1当列式计算出时间的长短时,在得数的括号里写上时间的单位“时”。例如:超市营业时间:21-9=12(时)。(此处可省略“小”字)

      7.2在用语言表述时间的长短时,为避免“时间”和“时刻”这两个概念产生混淆,则在“时”的前面加上一个“小”字。例如:超市营业时间12小时。

      7.3  在用语言表示时刻时,一律不得出现“小时”字样。例如:公园?#21051;?#26089;上7时30分开园(而非7小时30分)。

      8、“改?#30784;?#21644;“省略”是一样的吗?

      ?#26377;?#24335;上看,此例将“改?#30784;?#19982;“省略”两种对数的变化置于了同一个要求之下(即改写成用“亿”作单位的数)。我们真希望编者不是有意而为之,因为“改?#30784;?#19982;“省略”其本质是完全不同的。

      表现在:

      8.1目的不同

      “改?#30784;?#30340;目的是方便对大数的读写,而“省略”则是取数的近似值。

      8.2方法不同

      此处的“改?#30784;?#26159;去掉“亿”位后面的0,再写上一个“亿”字,而“省略?#32972;?#20102;要?#26131;肌?#20159;”位,还要考虑被省略的尾数的最高位是几,然后用四舍五入法求出近似数。

      8.3符号不同

      “改?#30784;?#21482;改变了数的表?#20013;?#24335;,大小并未改变,所以用“=”号连接?#27426;?#30465;略”既改变了数的形式,又改变的数的大小,所以用“≈”连接。

      9、“路程”就是“距离”吗?

      这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的,其实不然。

      “路程”是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度?#27426;?#36317;离”则指连接两个地点而成的直线段的长度。

      “路程”所经过的路线可以是曲形线,?#37096;?#20197;是直形线,还可能是折形线。

      一般情况下,两个地点之间的“路程”要大于它们之间的“距离?#20445;?#21482;有当两个地点之间的路线为直线时,路程和距离才相?#21462;?

      虽然老师们都知道这个等式是成立的,但我们的学生却没有相应的知识储备,怎样绕开”极限”寻找能为小学生所理解和接受的证明途径。

      10、最大的分数单位是1/2还是1/1?

      先看看分数单位的含义:把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数。

      显然,在分数意义中,关键是“分?#20445;?#27809;?#23567;?#20998;?#20445;?#23601;没?#23567;?#20221;”。

      因为把单位“1”平均分成的最少份数是2份(如果是1份,也就无所谓“分?#20445;?#30001;?#35828;?#21040;的分数单位是1/2,所以1/2是最大的分数单位。

      尽管就广义的分数来说,1/1?#37096;?#35270;作分数,但它已不是我们通常意义上认识的与整数对立的那种分数(在平均分的基础上所产生),故此,最大的分数单位应以1/2为宜。

      11、像 0/3、0.2/3、3/0.2这样的数是不是分数?

      分数的定义明确告诉我们:把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份或几份的数,叫分数。其中,分成的份数叫做分数的分母,要表示的份数叫做分子。

      由此可知,分数的分子?#22836;?#27597;?#21152;?#35813;是非零自然数。从这个意义来说,以上这几个数徒具分数的形式,而不具分数的实质,因此都不应该视为分数。

      进而,在考查学生对“分数”涵义的理解时,应着眼于通常意义上的分数,将上述这些变异形式纳入思考的?#27573;В?#20854;本身对训练学生的思维并无多大?#23548;?#24847;义,而?#19968;?#20196;诸如“分数都大于0”?#35753;?#39064;的真与假陷入?#38480;巍?

      12、比6多1/2的数”应该是“6+1/2”还是“6+(1+1/2)

      要弄清这个问题,先得弄清“6”的性质。显然,此处的“6”其实质是一个“数?#20445;?#32780;非一个“量?#20445;?#27714;“比6多1/2的数”应属于“求比一个数多几的数”的范畴,问题中的“多几”都是确定的具体数,这里的“几”既可以是整数,?#37096;?#20197;是小数或分数。所以,这里的“1/2”是指在6的基础上“多1/2”这个“1/2”数的本身,而非“6的1/2”。

      所以,“比6多1/2的数”应该是“6+1/2”。

      ?#27604;唬?#22914;果题目确定为“比6多它的1/2的数?#20445;?#37027;答案则属于后者。

      13、计算出勤率可不可以不乘100%?

      先来看看新人教版、北师大版?#36864;?#25945;版三个不同版本的教材对类似问题的理解。

      同一课程标准下,不同的教材给出了不同的理解,这给执教者带来了困惑:到底可不可以不乘100%呢?笔者以为,求“××?#30465;?#20854;结果必定为百分?#30465;?#20197;出勤率为例,就是求?#23548;?#20986;勤人数?#21152;?#20986;勤人数的百分之几。

      如果公式只写成:出勤率=?#23548;?#20986;勤人数/应出勤人数,我们说这只是分数形式(也即是求?#23548;?#20986;勤人数?#21152;?#20986;勤人数的“几分之几?#20445;?#24182;不是百分数。

      因此,在公式后面乘上“?#20445;埃埃ァ保?#26082;可以使计算数值大小不变,又能保证结果形式满足百分数的要求。因此,计算出勤?#30465;?#21457;芽?#30465;?#20986;粉?#30465;?#21512;格?#30465;?#30340;公式中,?#21152;?#20056;“?#20445;埃埃ァ薄?

      同时建议各版本教材的编委统一思想,以免给一线教师造成认识上的混乱。

      14、小于90度的角都是锐角吗?

      根据课标教材定义:小于90度的角叫做锐角。答案似乎是肯定的,但由此又产生一个新的问题:0度的角是什么角,也是锐角吗?

      事实是,锐角定义有一个隐含的前提,就是小学数学中所讨论的角都是正角。习惯?#24076;?#25105;们把射线按逆时针方向旋转而得到的角叫做正角,射线?#27492;?#26102;针方向旋转而得到的角叫做负角,当一条射线没有做任何旋转时,就把它看成零角。如果将角的概念推广到?#25105;?#22823;小的角,就应分为正角、负角、和零角。

      由此,严格意义上的锐角定义应是:大于0度而小于90度的角叫做锐角。

      15、足球比赛记分牌上的“3︰2”是数学中的“比”吗?

      我们至少可?#28304;?#20004;个方面来理解它们的差别。

      第一, 球类比赛中的“3︰2”表示的是比赛双方的得分情况,是“差”比,即表示相差关系,一方得3分,另一方得2分,双方相差1分;数学中的“3︰2”表示的是“3÷2?#20445;?#26159;“倍”比,商为1.5。有鉴于此,球类比赛中的“比?#20445;?#20854;实是?#30830;鄭?#20854;后数可以为0的,而数学中的“比?#20445;?#20854;后数(相当于除数)是不可以为0的。

      第二,数学中的“比”是可以化简的,如“4︰2=?#21338;U1?#20445;?#21516;样的“4︰2”放在球类比赛中,却不可以化简,如果化简就不能?#20174;乘?#26041;在比赛中的?#23548;实?#20998;了。

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